September 13, 2025 4 min to read

风荷载作用下的风筝线的形状

风比较大时，风荷载可以远大于自重荷载，所以觉得还是有必要对风荷载作用下风筝线的形状进行讨论。

风筝线上的荷载

风荷载

根据 $Bernoulli$ 原理, 对于重力场中的理想流体, 同一流线上存在如下守恒式: \(p+\cfrac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=Const \tag{1}\) 其中, $\rho,\ v,\ p,\ g,\ h$ 分别为空气密度, 速度, 压强, 重力加速度, 质点高度. 对于气体可以忽略重力项: \(p+\cfrac{1}{2}\rho v^2=Const\) 于是有: \(p_0+\cfrac{1}{2}\rho v_0^2=p+\cfrac{1}{2}\rho v^2 \tag{2}\) 由风引起的附加压强: \(\Delta p=p-p_0=\cfrac{1}{2}\rho v_0^2(1-\cfrac{v^2}{v_0^2})=w_0\mu_s \tag{3}\) 其中有: \(w_0=\cfrac{1}{2}\rho v_0^2 \\\mu_s=\cfrac{\Delta p}{w_0}=1-\cfrac{v^2}{v_0^2}\) 分别称为基本风压和体型系数.那么风筝线上每单位长度上的基本风荷载: \(p_w=\mu_s w_0 d\tag{4}\) 其中 $d$ 为风筝线直径, 通常 $d\leq 0.4mm$, 下文中取 $d=0.4mm$. 参考输电线路规范, 风筝线的体型系数 $\mu_s=1.1\sim 1.2$ , 下文取 $\mu_s=1.1$ . 此外风工程中,一般取风俗剖面: \(v_b(h)=v_b(\cfrac{h}{h_b})^\alpha\tag{5}\) 其中 $h_b,\ v_b,\ \alpha$ 为基准点高度, 基准点风速以及地面粗糙度系数. 通常 $\alpha=0.12\sim 0.30$ .

自重荷载

单位长度风筝线自重荷载: \(p_g=\rho_t Ag=\cfrac{\pi}{4}d^2\rho_tg\tag{6}\) 其中 $\rho_t$ 表示风筝线体积密度, 取值如下:

下文取 $\rho _t=0.9g/cm^3=900kg/m^3$

风荷载与自重荷载的比较

一般取空气重度 $\gamma=0.01225N/m^3$ , 则基本风压: \(w_0=\cfrac{1}{2}\cfrac{\gamma}{g}=\cfrac{1}{1600}v_0^2\ (kN/m^2)\) 风荷载: \(p_w=\mu_s w_0 d=\cfrac{1}{1600}\mu_s v_0^2 d\ (kN/m)\) 风荷载与自重荷载比值: \(\cfrac{p_w}{p_g}\approx\cfrac{v_0^2}{40}\tag{7}\) 因此，当平均风速 $v_0>\sqrt{40}\ m/s\approx 6.4\ m/s$ 时, 风荷载就会超过重力, 成为主控荷载.

根据上表, $v_0=6.4\ m/s$ 属于和风.

由此可见, 通常放风筝的环境, 一般是风荷主导的. 清风不可小觑, 虎门大桥正是在清风下发生了涡振.

如果在疾风天放风筝, 取 $v_0=17.1\ m/s$ , 此时有 \(\cfrac{p_w}{p_g}=7.3\) 这时候风荷载变成绝对主控了.

风筝线的平衡方程

记风筝线以弧长为自然坐标的当前构型为: \(\bold r=x(s)\bold i+y(s)\bold j\tag 8\) 记其单位切向量: \(\vec{\tau}=\bold{\dot{r}}=\dot x(s)\bold i+\dot y(s)\bold j\tag 9\) 单位法向量: \(\bold n=\bold k\times\vec{\tau}=\dot x(s)\bold j-\dot y(s)\bold i\tag{10}\) 另记线内张力为 $T(s)$ , 在当前构型上取一个微弧段 $[s,s+\text{d}s]$ 作为微元, 则平衡方程为: \(-T(s)\vec{\tau}(s)+T(s+\text ds)\vec{\tau}(s+\text ds)+\bold q\text ds=0\) 即 \(\cfrac{\text d}{\text ds}(T\vec\tau)+\bold q=0\tag{11}\) 这就是风筝线的基本平衡方程. 下面我们把荷载集度 $\bold q$ 具象化. 假设风筝绳光滑, 空气为理想流体, 则风荷载均匀作用与风筝法向. 设风沿 $x$ 正方向吹来, 则法相风速: \(v_0=v_b(\cfrac{y}{y_b})^\alpha(-\bold i\cdot\bold n)=v_b(\cfrac{y}{y_b})^\alpha\dot y\tag{12}\) 风荷载集度: \(\bold{q}_w=-w+0\mu_sd\bold n=-\cfrac12 \rho d\mu_sv_b^2(\cfrac1{y_b})^{2\alpha}y^{2\alpha}\dot y^2\bold n=-\eta y^{2\alpha}\dot y^2\bold n\tag{13}\) 重力荷载集度: \(\bold q_g=-\cfrac{\pi}{4}d^2\rho_tg=-q_g\bold j\) 于是: \(\cfrac{\text d}{\text ds}(T\vec\tau)-\eta y^{2\alpha}\dot y^2\bold n-q_g\bold j=0\tag {14}\)

风筝线的形状积分

展开式 $(14)$ , 并向局部座标架上投影, 写成分量形式: \(T(\ddot y\dot x-\dot y\ddot x)-\eta y^{2\alpha}\dot y^2-q_g\dot x=0\\ \dot T-q_g\dot y=0\tag{15}\) 可以立即获得一个积分: \(T=q_gy+C_1\tag{16}\) 又由于几何关系: \(\text ds=\sqrt{\text dx^2+\text dy^2}=\text dx\sqrt{1+y'^2}\\\kappa=\ddot y\dot x-\dot y\ddot x=\cfrac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}\tag{17}\) 将以上两式子代入 $(15)$ , 整理得到: \((q_gy+C_1)y''-\eta y^{2\alpha}y'^2\sqrt{1+y'^2}-q_g(1+y'^2)=0\tag{18}\) 作如下代换: \(z=y';\ y''=\cfrac12\cfrac{\text d(z^2)}{\text dy};\ z^2=u\) 从而得到 \((q_gy+C_1)\cfrac12\cfrac{\text du}{\text dy}-\eta y^{2\alpha}u\sqrt{1-u}-q_g(1+u)=0\tag{19}\) 若是令风荷载项为0则立刻得到悬链线方程: \(y+\cfrac{C_1}{q_g}=\cfrac12(C_2e^x+\cfrac1{C_2}e^{-x})\) 更具之前的讨论, 风速较大时自重变为次要因素, 忽略重力荷载, 此时方程为 \(C_1\cfrac12\cfrac{\text du}{\text dy}-\eta y^{2\alpha}u\sqrt{1-u}=0\tag{20}\) 可以分离变量积分: \(\int[\sqrt{C_2}\exp(\cfrac\eta{C_1}\cfrac1{2\alpha+1}y^{2\alpha+1})-\cfrac1{\sqrt{C_2}}\exp(-\cfrac\eta{C_1}\cfrac1{2\alpha+1}y^{2\alpha+1})]\text dy=2x+C_3\tag{21}\) 当 $\alpha=0$ 时显然也是悬链线方程, 但当 $\alpha>0$ 时, 应该没有初等表示.

风筝线形状积分 plus

为了获得 $(19)$ 式的一般解, 继续作如下代换: \(w=\sqrt{1+u};\ \cfrac{\text du}{\text dy}=2w\cfrac{\text dw}{dy}\) 代回并整理得 \(\cfrac{\text dw}{\text dy}=\cfrac{\eta y^{2\alpha}}{q_gy+C_1}w^2+\cfrac{q_g}{q_gy+C_1}w-\cfrac{\eta y^{2\alpha}}{q_gy+C_1}\) 记作 \(\cfrac{\text dw}{\text dy}=f(y)w^2+g(y)w-f(y)\) 这是一个 $Riccati$ 方程. 求解它的关键是找到一个特解, 这并不容易, 还是要先进行近似. 进一步改写: \(\cfrac{\text dw}{\text dy}=f(y)(w^2-1)+g(y)(w-1)+g(y)\tag {22}\) 注意到 \(g(y)=\cfrac{q_g}T\) 是一个小量, 因此: \(w^*=1\tag{23}\) 这便是一个近似特解. 于是根据 $Riccati$ 方程积分公式: \(\begin{cases} w = w^* + \Phi(y) \left( C_2 - \int f(y) \Phi(y) dy \right)^{-1} \\ \Phi(y) = \exp \left[ \int \left( 2w^* f(y) + g(y) \right) dy \right] \end{cases} \tag{24}\) 继而根据: \(\cfrac{\text dy}{\text dx}=\sqrt{w^2-1}\tag {25}\) 进行分离变量积分, 即可得到近似得一般解: \(F(x,y,C_1,C_2,C_3)=0\tag{26}\) 这个积分过于臃肿, 先这样表示.

然而 $(23)$ 得近似特解令人不快, 实际上虽然准确的特解不易得到,但可以改进, 现在引入小参数 $ \mathcal { E } $ , 改写 $(22)$ 为摄动形式: \(\cfrac{\text dw}{\text dy}=f(y)(w^2-1)+g(y)(w-1)+ \mathcal { E } g(y)\tag{27}\) 令: \(w ( \mathcal { E } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } w _ { n } \mathcal { E } ^ { n }\tag{28}\) 因此, $(27)$ 化为: \(\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } w _ { n }' \mathcal { E } ^ { n }=f(y)[(\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } w _ { n } \mathcal { E } ^ { n })^2-1]+g(y)(\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } w _ { n } \mathcal { E } ^ { n }-1)+\mathcal { E } g(y)\tag{29}\) 展开 $(29)$ 并比较幂级数得各个阶次得: \(\begin{cases} w_0' = f(y)(w_0^2 - 1) + g(y)(w_0 - 1) \\ w_1' = \left[ 2w_0f(y) + g(y) \right] w_1 + g(y) \\ w_2' = \left[ w_0f(y) + g(y) \right] w_2 + w_1^2 f(y) \\ \ldots \end{cases} \tag{30}\) 显然, 在 $(30)$ 中, 除了 $(30-1)$ 是 $Riccati$ 方程, 特解为 $w_0=1$ , 之后均为标准的一阶线性问分方程, 易解. 如有必要, 可以根据这个式子得到足够准确的特解: \(w*=w_0+w_1+w_2+\ldots\tag{31}\) 将此式代入 $(24)$ 可以得到更准确地积分结果.

结语

在风荷载和重力荷载共同作用下, 风筝线的形状函数由 $Ricatti$ 方程控制, 根据其特点, 可通过小参数摄动获取其特解展开式, 进而积分得出结果.